Моделирането на система за управление с помощта на диференциални уравнения е основен и мощен подход в областта на контролното инженерство. Като доставчик на система за контрол съм свидетел от първа ръка значението на тази техника при проектирането и анализирането на различни системи за управление. В този блог ще споделя информация как да моделирам система за управление, използвайки диференциални уравнения, заедно с практически примери и съображения.
Разбиране на основите на диференциалните уравнения в системите за контрол
Диференциалните уравнения са математически инструменти, използвани за описание на връзката между функция и неговите производни. В контролните системи тези уравнения се използват за представяне на динамичното поведение на физическите системи. Чрез формулиране на система за управление като набор от диференциални уравнения, можем да анализираме неговата стабилност, производителност и отговор на различни входове.
Най -често срещаният тип диференциални уравнения, използвани в контролните системи, са обикновени диференциални уравнения (ODE). Тези уравнения включват функции на единична независима променлива, обикновено време. Например, помислете за обикновена механична система, състояща се от маса, прикрепена към пружина и амортисьор. Движението на масата може да бъде описано от следния втори ODE ODE:
[m \ frac {d^{2} x} {dt^{2}}+c \ frac {dx} {dt}+kx = f (t)]
където (m) е масата, (c) е коефициентът на затихване, (k) е пружината константа, (x) е изместването на масата, а (f (t)) е външната сила, приложена към масата.
Стъпки за моделиране на контролна система, използвайки диференциални уравнения
Стъпка 1: Определете компонентите на системата
Първата стъпка в моделирането на контролна система е да се идентифицират физическите компоненти на системата. Това включва сензори, задвижващи механизми и контролиран процес. Например, в интелигентна система за контрол на дома, компонентите могат да включватSmart Home Switch,Външен радиоприемникиРъчен RF дистанционно управление.
Стъпка 2: Определете променливите на системата
След като се идентифицират компонентите на системата, следващата стъпка е да се дефинират съответните системни променливи. Тези променливи могат да бъдат класифицирани като входни променливи, изходни променливи и променливи на състоянието. Входните променливи са сигналите, които се прилагат към системата, като например контролния сигнал от дистанционно управление. Изходните променливи са сигналите, които представляват отговора на системата, като състоянието на интелигентен превключвател. Променливите на състоянието са вътрешните променливи, които описват състоянието на системата, като позицията на механичен компонент.
Стъпка 3: Прилагайте физическите закони
След като дефинираме променливите на системата, трябва да приложим подходящите физически закони, за да опишем поведението на всеки компонент. За електрическите системи можем да използваме законите на Kirchhoff; За механичните системи, законите на Нютон; и за термичните системи законите на термодинамиката. Например, в електрическа верига законът за напрежението на Kirchhoff гласи, че сумата от напреженията около затворен контур е нула.
Стъпка 4: Напишете диференциалните уравнения
Въз основа на физическите закони и връзките между променливите на системата можем да напишем диференциалните уравнения, които описват поведението на системата за управление. Тези уравнения могат да бъдат линейни или нелинейни, в зависимост от естеството на системата. В много случаи можем да линегизираме нелинейните уравнения около оперативна точка, за да опростим анализа.
Стъпка 5: Анализирайте модела
След като диференциалните уравнения са написани, можем да анализираме модела, за да разберем поведението на системата. Това включва определяне на стабилността на системата, намиране на функцията за прехвърляне и анализ на отговора на системата на различни входове. За тази цел са налични различни аналитични и числени методи, като трансформации на Laplace, анализ на честотата - домейн и числена симулация.
Пример: Моделиране на система за контрол на температурата
Нека разгледаме проста система за контрол на температурата за стая. Системата се състои от нагревател, сензор за температура и контролер. Целта на системата е да поддържа стайната температура при желана зададена точка.
Стъпка 1: Определете компонентите на системата
- Нагревател: Задвижващият механизъм, който осигурява топлина в стаята.
- Температурен сензор: сензорът, който измерва стайната температура.
- Контролер: Устройството, което сравнява измерената температура със зададената точка и съответно регулира изхода на нагревателя.
Стъпка 2: Определете променливите на системата
- Входна променлива: температурата на зададената точка (T_ {SET}).
- Изходна променлива: стайна температура (t (t)).
- Променлива на състоянието: топлинната енергия, съхранявана в стаята (q (t)).
Стъпка 3: Прилагайте физическите закони
Скоростта на промяна на топлинната енергия в стаята се дава от следното уравнение:
[\ Fran {dq} {dt} = p - ha (t - t_ {с})]
където (p) е входът на мощността от нагревателя, (h) е коефициентът на топлопреминаване, (a) е повърхността на стаята и (t_ {amb}) е температурата на околната среда.
Връзката между топлинната енергия и температурата се дава от:
[Q = mc_ {p} t]
където (m) е масата на въздуха в стаята и (c_ {p}) е специфичният топлинен капацитет на въздуха.
Стъпка 4: Напишете диференциалните уравнения
Разграничаване (q = mc_ {p} t) По отношение на времето, получаваме:
[\ frac {dq} {dt} = mc_ {p} \ frac {dt} {dt}]
Заместване (\ frac {dq} {dt}) в уравнението на топлината - баланс, получаваме:
[mc_ {p} \ измама {dt} {dt} = p - ha (t - t_ {amb})]]]]
Това е линейно диференциално уравнение от първи ред, което описва поведението на системата за контрол на температурата.
Стъпка 5: Анализирайте модела
Можем да анализираме модела, за да определим стабилността и реакцията на системата на различни входове. Например, можем да намерим функцията за прехвърляне на системата, като вземем трансформацията на Лаплас на диференциалното уравнение. Функцията за прехвърляне свързва изхода (стайна температура) с входа (мощност на нагревателя).
Съображения в системите за управление на моделиране
- Опростяване на модела: В много случаи действителната система може да бъде много сложна и може да се наложи да се опрости модела, за да го направи по -проследим. Това може да включва пренебрегване на определени компоненти или приемане на линейно поведение.
- Оценка на параметрите: Параметрите в диференциалните уравнения, като масата, коефициента на затихване и коефициента на пренос на топлина, трябва да бъдат оценени точно. Това може да стане чрез експериментални данни или чрез използване на предварително познаване на системата.
- Нелинейности: Real - Световните системи за контрол често проявяват нелинейно поведение. Докато линейните модели се анализират по -лесно, важно е да се вземат предвид ефектите на нелинейностите върху работата на системата.
Заключение
Моделирането на контролна система с помощта на диференциални уравнения е решаваща стъпка в проектирането и анализа на системите за управление. Следвайки стъпките, очертани в този блог и като се има предвид практическите аспекти, можем да разработим точни модели, които ни помагат да разберем поведението на системата и да проектираме ефективни стратегии за контрол.
Ако се интересувате от закупуване на системи за контрол или имате въпроси относно моделирането и дизайна, ние сме тук, за да ви помогнем. Свържете се с нас за подробна дискусия и да проучите най -добрите решения за вашите специфични нужди.
ЛИТЕРАТУРА
- Ogata, K. (2010). Съвременна контролна инженеринг. Prentice Hall.
- Dorf, RC, & Bishop, RH (2017). Съвременни системи за управление. Пиърсън.